第五章用差分法和变分法解平面问题

学习指导

1．弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变和位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件建立微分方程和边界条件，并由此求解应力、形变和位移。从数学上看，弹性力学问题可化为微分方程的边值问题，通过求解，得出函式的精确解答。

但是对于工程实际问题，由于荷载、边界等较为复杂，难以求出函数式的解答。从弹性力学基本理论建立以来，为了解决工程实际问题，人们就探讨了各种可供应用的近似解法。弹性力学中最主要的近似解法是变分法、差分法和有限单元法。

2．差分法是微分方程的一种近似数值解法。在差分法中，将连续函数用一些结点上的函数值来代替，并从而将微分方程及其边界条件变换为差分（代数）方程，使问题易于求解。在这种方法中，采用了将函数离散的手段。

3．变分法是弹性力学中另一独立的求解方法。在变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建立变分方程，并进行求解。弹性力学中的变分方程和微分方程是沟通的，可以互相导出。

由于变分法得出的常常是近似的解答，所以也将变分法归入弹性力学的近似解法。

4．有限单元法是20世纪中期发展起来的弹性力学近似解法。在有限单元法中，首先将区域离散化，把连续体变换为离散化结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散化结构，从而建立求解的方法。有限单元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。

5．对于工程技术人员来讲，这些弹性力学的近似解法，是用来解决实际问题的有效手段。因此，读者不仅要理解，而且要能应用这些近似解法。

§5-1 差分公式的推导

差分法是微分方程的一种数值解法。差分法的内容是：将连续函数用结点的函数值来代替，如f(x) →f0，f1，f2，…；

将微分用有限差分来代替，如dx→Δx=x1-x0，df →Δf=f1-f0；

将导数用有限差商来代替，如。

因此，在微分方程及其边界条件中，函数及其导数均可以用差分形式表示，从而将微分方程化为差分方程。差分方程是代数方程，我们总可以得出其解答。

为了导出导数的差分公工，我们应用了泰勒级数公式。这样不仅可以得出统一的格式，避免任意性，而且能估计出差分公式的误差。

将函数f(x)以x0点展开为泰勒级数，

。

若将式（5-1）中的Δx=（x-x0）的三次幂以上项略去，并令x-x1和x=x3，图5-1，则可以导出抛物线差分公式。

式（5-2）又称为中心差分公式，是常用于空间域的差分公式。在导出公式的过程中略去了Δx3以后的项，因此其误差的最级是o（Δx3）。

对于二阶及更高阶导数的差分公式，可以根据式（5-2）导出，如教科书中的式（5-3）~（5-8）。

如果我们在泰勒级数中略去Δx2以上的项，只保留式（5-1）中的第一、二项，则我们可以导出所谓线性差分公式。

（1）令x=x1，则，由此得出向前差分公式

（2）令x=x3，则，由此得出向后差分公式

显然，线性差分公式的误差量级是o（Δx2），且具有偏倚性，其结点偏向一方。在实用上，向前和向后差分公式常用于时间域的导数公式，如不稳定温度场的问题等。

思考题

1．比交导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。

2．应用抛物线差分公式（5-2），试导出三导数的差分公式。

§5-2 应力函数的差分解

对于单连体，按应力函数Φ求解时，Φ应满足

（1）在区域A内

（2）在边界s=sσ上，

当求出Φ后，便可以由下式求出应力（假设无体力的情形），

应用差分法求解时，可将上述方程和公式转化为差分公式。这里应注意，式(a),(b),(c)中的Φ(x,y)是连续函数，它覆盖整个弹性体的区域及边界。例如(a)，只用一个方程就表示了整个区域的相容条件，其中（x,y）为域A点内任意点。但在差分法中，各种方程或公式是按结点来表示的，对每一个结点应列一个方程或公式。

下面我们来简述差分法和求解方法。

1．应力公式的差分表示。对于图（5-1）中0点的应力公式，可以表示如下，

2．将相容方程（重调和方程）化为差分方程。对于0点，可列出

的差分方程

在弹性体区域A内划出等间距h的纵横网络，取每一个内结点的Φ为基本未知值；并对每一个内结点列出式（5-6）的差分方程，便可用来求解各内结点的Φ值。

由于0点的方程（5-6）涉及此点周围两倍网格间距上的结点的Φ值，因此，对边界内一行的结点列式（5-6）的方程时，必须知道边界结点处的Φ值，和边界外一行结点（称为虚结点）处的Φ值（后者可以应用边界结点处Φ后的导数值来求出）。这就需要用到应力边界条件。

3．应用应力边界条件求出边界结点上的值。

我们来考虑一般的边界情形，图5-2。取边界上的某一固定点A作为基点（起始点）。以由x轴到y轴的转向为边界线s的正向（即坐标φ的转向，图中为顺时针向），注意当沿s的正向移动ds时，相应的dy为正值，而dx本身是负值。因此，图5-2中三角形微分体的边长（绝对长度）分别为ds、dy、（-dx），因此，可得边界线的外法线方向余弦：

将应力边界条件（b）化为导数形式，即教科书§5-2中的式（c），

上式是用Φ的导数表示的应力边界条件。

再将式(e)通过积分，从基点（定点）A到任一动点B，经简化后最后得出Φ的导数公式，以及由Φ的全微分导出的Φ的公式，即，

式（5-7）是积分形式（从定点到动点）的应力边界条件，其中独立的方程仍是两个，它与微分形式的边界条件（e）等价。从式（5-7）可以看出其物理意义：

表示从A到B边界上x向面力的主矢量，

表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号，

ΦB表示从A到B边界上面力对B点的力矩，在图示坐标系中以顺时针向为正。在以后求边界结点处的Φ，时，可应用上述的物理意义直接得出。

当求出之后，便可以得出边界处一行虚结点上的Φ值，如教科书中式（5-14）所示。

4．用应力函数的差分解法求解时，可以按下列步骤进行：

（1）在边界上选定基点A，令，计算边界上各点的Φ，值。

（2）求出边界外一行虚结点处的Φ值。

（3）对每一个内结点列式（5-6）的差分方程，联立求解各内结点的Φ值。

（4）应用式（5-5）求各结点的应力值。

对于曲线边界或斜边界，在边界附近往往出现不等间距的网格结点。这时，我们仍然可以应用泰勒级数公式，导出不等间距下的差分公式，如教科书§5-2中的式（i）、(j)。但在使用时比较不便。

思考题

将应力函数Φ看成是覆盖于区域A和边界s上的一个曲面，则在边界上，各点的Φ值与从A（基点）到B的面力的合力距有关。Φ的一阶导数值与A到B的面力的合力（主矢量）有关；而在区域内，应力分量与Φ曲面的曲率、扭率有关。

§5-3 应力函数差分解的实例

在深梁的差分解法中，我们应注意以下几点：

1．对称性的利用——图5-3中结构的应力状态具有对称性，当选择如图所示的y轴及基点A后，Φ应为x的偶函数。因此，结点Φ的未知值可以减少近1/2。而计算工作量（解联立代数方程组）减少得更多。

对于任何具有对称性（或反对称性）的问题，我们应尽可能选择合适的坐标系和基点，来反映其对称性（或反对称性）。这样可以减少未知数的数目，并成倍地减少计算工作量。

2．求解边界上各结点的Φ，值，可以直接根据其物理意义得出。

3．对于深梁受均布荷载的问题，无法得出精确的函数式解答。应用差分法可以求得其解，如沿深梁的中线MA，σx的变化曲线如图5-3所示。

从深梁的解答可见，由于深梁不是杆件，材料力学的解法已不能适用。因此，应按弹性力学的解法进行求解。而差分法虽是近似解法，但选取较密的网格结点并采用计算机进行计算时，可以达到足够的精度。因此，弹性力学的差分法确是解决工程实际问题的有效方法。

更一般地说，差分法是解微分方程的一种有效的数值解法。我们以稳定温度场的问题为例，说明如下。

稳定温度场中的温度场函数T(x,y)应满足下列方程和边界条件：

稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在s1上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在s2上的第二类边界条件是已乔热流密度值，其中λ是导热系数。

现在我们将式(a),(b),(c)转化为差分形式。应用图5-1网格，和抛物线差分公式，

（1）将化为差分公式，得

（2）若x边界516上为第一类边界条件，则T1已知。

（3）若y边界627上为第二类边界条件，已知（qy）2。则

由于，所以得

这时，边界点2的T2是未知的，对2点须列出式（5-8）的方程。此方程涉及T10值，可将式（5-9）代入。

例题1 稳定温度场问题的差分解。设图5-4中的矩形域为6m×4m，取网格间距为h=2m，布置网络如图5-4，各边界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点a,b的稳定温度值。

解：对a,b列出方程如下：

4Tb-(Ta+30+20+22)=0。

解出

Ta=28.53, Tb=25.13（度）

对于差分法，可以简单地归纳如下。差分法的优点是：

1．差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。我们总可以将微分方程化为差分方程并得出其数值解答。

2．差分法简便易行，且借助于计算机可以取较密的网格进行分析，以求得足够精确的解答。例如，对于矩形薄板的弯曲、稳定和振动等问题，可以用差分法很方便地得出解答。

3．对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以用差分法进行分析。例如，若用结构力学方法计算出刚架结构的整体内力分布后，则可用差分法进一步分析刚架结点附近的局部应力状态。

差分法的缺点是：

1．对于由曲线边界和斜边界等产生的不等间距网络，虽然可以得出相应的不等间距的差分公式，或者可改造成为等间距的网络进行分析，但都比较麻烦和易于出错。

2．差分法比较适用于解二维问题或平面问题，这时的网格较为直观，易于图示。

3．差分法比较适用于等间距网络，对于应力等变化较为剧烈时，需采用二次网格进行计算。

4．凡是近似解，在进行求导运算时会降低精度。如§5-1中Φ展开式（5-1）中，略去▽x3项后，其误差量级为o(▽x3)。但应力与Φ的二阶导数有关，对式（5-1）求二阶导数后，得到的应力精度降低，其误差量级成为o(▽x)。

例题2 用差分法计算图5-5中A和B点的应力分量。

解：为反映对称性，取A为基点。

令

边界点的应力函数值：

Φ2=Φ3=Φ4=ΦB=0。

边界点的导数值：

由上式及，求出边界外一行虚结点的Φ值：

Φ7=Φ1，Φ6=Φ1，Φ5=Φ1-2Fa。

对1点列差分方程：

20Φ1-8（ΦA+2Φ3+ΦB）+2（Φ2+Φ4）+（Φ5+2Φ6+Φ7）=0。

代入各Φ值，解出

再求出应力分量

思考题

1．试用线性向前或向后差分公式，导出（▽2T）0=0的差分方程。

2．用差分法计算图5-6中A点的应力分量。

答案：

§5-4 弹性体的形变势能和外力势能

变分法是求解弹性力学问题另一种独立的解法。

数学上所谓变分法，主要是研究泛函及其极值的求解方法。在弹性力学中，所取的泛函就是弹性体的能量，因此，在弹性力学中的变分法又称为能量法。

在变分法中，按照所取的基本未知函数为位移或应力，分为位移变分法或应力变分法。本章中仅介绍位移变分法。

位移变分法是将实际平衡条件下的位移状态与其邻近的位移状态相比较，由平衡状态时的总势能处于极小值的条件来导出变分方程，然后进行求解的。

由于变分法中的新概念较多，下面我们稍作详细的介绍。对于平面问题，设弹性体的体积为A×1，即z向厚度取单位宽度，而(x,y)平面上的面积为A，边界线为s。

1．弹性体的外力功和外力势能

弹性体的外力——区域A中的体力fx,fy和边界sσ上的面力，在发生位移时将做功W，

与重力相似，重力做了功，必然消耗了相同数值的重力势能，若取位移u=v=0时的外力功和外力势能为0，则相应的外力势能（V）是

在上述公式中，由于假设位移是微小的，因此，外力均作为常量看待。

2．应力的功和形变势能（内力势能）

（1）在弹性体的每一个微小单元上，作用有邻近部分对它的作用力——应力，应力可以看成是作用于此微小单元上的‘外力’。应力是一种广义力（单位面积上的作用力），其对应的广义位移是应变（单位长度线段的伸缩）。应力和应变都是从0增长到σ，ε的，因此应力不是常量的力，而是一种变力。对于应力所做的功。例如σ做的功是，图5-7（a）。读者应注意，这里应力应表示为应变的函数，σ=σ（ε），即应变是基本未知量；进而应变又可以通过几何方程用位移表示。因此，上述表达式中的基本未知函数最后应为位移，这是位移变分法的基本宗量，即泛函的自变量。

对于应力与应变之间为线性关系的情形（如符合胡克定律），图5-7（b），

对于平面应力问题（σz=τzx=τzy=0）或平面应变问题（εz=γzx=γzy=0），所有应力所做的功（U1）都是

（2）假定弹性体的能量没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功应全部转化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能，存储于物体内部，式（5-12）中的U1表示单位体积中应力所做的功（应力表示单位面积上的力，应变表示单位长度上的伸缩），因此，U1是单位体积的形变势能（又称为形变势能密度）。

整个弹性体的形变势能为

在式（5-12）中，可以把应力用物理方程（2-12）代入，将U1全部用基本未知函数——位移来表示，即

对于平面应变问题，只需将式（5-14）、（5-15）中的E、μ分别代换为。

3．形变势能的性质

（1）形变势能是位移或应变的二次泛函，因此，不能应用叠加原理。例如，若先发生位移u1，再发生位移u2时，U（u1+ u2）≠U（u1）+U（u2）。

（2）当应变或位移发生时，从式（5-14）或（5-15）可见，形变势能总是正的，即U≥0。

（3）形变势能的大小与受力的顺序无关。

（4）单位体积的形变势能U1对任一应变分量的导数，等于对应的应力分量，即

4．弹性体的总势能

在实际外力作用下，弹性体所具有的总势能Ep是外力势能和内力势能（形变势能）之和，即

Ep=U+V0 (5-17)

思考题

1．试证明在线性的单向应力与应变关系的条件下，。

2．试由式（5-14）导出式（5-16）。

3．试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式，并与式（5-13）、（5-14）和（5-15）相比较。

§5-5 位移变分方程

现在我们来导出位移变分法，其中取位移状态函数为宗量（即能量泛函中的自变量）。

1．实际平衡状态下的位移——设弹性体实际平衡状态下的位移为u,v,它们必须满足

（1）用位移表示的平衡微分方程（在A中），即式（2-18）；

（2）用位移表示的应力边界条件（在sσ上），即式（2-19）；

（3）位移边界条件（su上），即式（2-14）。

其中（1）、（2）属于静力平衡条件，（3）属于约束条件。我们可以把（3）看成是求解实际位移的必要条件，而（1）、（2）是充分条件。

2．虚位移状态

（1）虚位移，在数学上称为位移变分，即δu，δv，表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，图5-8。

按定义，虚位移δu，δv应满足su上的约束条件（位移边界条件），在约束边界上不能再发生位移变分，即

δu=δv=0。（在su上）（5-18）

虚位移是在实际平衡状态附近，发生的微小位移增量。它不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰所产生的可能的位移增量。因此，虚位移状态

就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态，见图5-8，其中u,v表示实际平衡状态下的位移。

（2）变分与微分的比较

微分，是在同一状态下，研究由于位置（坐标）改变而引起的函数的改变。其中的自变量为通常的坐标变量，而因变量为函数，如位移、应力等。例如

变分，是在同一位置上，研究由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量（宗量）是状态函数——位移等，而因变量是泛函，如形变势能，外力势能等。在变分中，通常用δ表示宗量和泛函的增量。例如

图5-8清楚地表示了两者的区别：微分是表示由于坐标增量dx引起位移函数的增量du；变分是表示由于位移状态改变δu而引起泛函的改变δU。变分法就是研究实际位移状态和邻近位移状态之间的能量关系而建立变分方程的。

由于微分和变分都是微量，因此，

a．它们的运算方式相同，如（b）和式（c）的运算公式一样。

b．变分和微分可以交换运算次序，如

3．在虚位移上弹性体的功和能

假设在弹性体中发生了约束允许的虚位移（位移变分）δu，δv。这时，由于发生了虚位移，弹性体中外力的功和能将发生相应的改变。在发生虚位移δu，δv时，外力的虚功（外力功的变分）为

外力势能的变分为：

同样，由于虚位移，将引起虚应变。通过几何方程可以由虚位移求出相应的虚应变，即

这时，实际应力在虚应变上的虚功，即形变势能的变分为

上式中由于实际应力是在虚应变发生之前已经存在的，所以作为常量力计算，无1/2的系数数。

4．弹性力学中变分方程的导出

（1）在封闭系统中，假定没有温度等非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中，形变势能的增加δU应等于外力势能的减少（即等于外力所做的功δW），即

（2）位移变分方程——将δW用式（5-19）代入，即得位移变分方程，

它表示，在实际平衡状态发生位移变分（δu，δv）时，所引起的形变势能的变分（δU），等于外力功的变分（δW）。

（3）虚功方程——将δU用式（5-22）代入，即得虚功方程，

它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。或者简单地说，应力虚功等于外力虚功。

（4）最小势能原理——我们对式（5-23）作进一步的考察。式（5-23）中的外力功变分δW如式（5-19）所示，但δW可以直接从弹性体的外力功W，即式（5-10），对宗量u,v进行变分运算而得出，即

由于外力在微小的虚位移过程中同样可作为常量看待，所以变分运算号可以进入积分号内，而得

即等于外力功变分δW，式（5-19）。

同样，式（5-23）中的形变势能变分δU如式（5-22）所示，但δU也可以直接从弹性体的形变势能U，即式（5-13），对应变进行变分运算得出，即

将式（5-16）代入，即，…，从而得到

即等于形变势能变分δU，（式5-22）。

再将式（5-23）的各项都移到等式的左边，并将式(d)和(e)代入，得到

令弹性体的总势能为Ep，

则式(f)可写成

这说明，在平衡状态，弹性体的总势能为极值。

其次，将总势能Ep对其宗量（应变或位移）作二次变分运算，可得

这进一步说明，在平衡状态，弹性体的总势能为极小值。

综合式（5-27）和（5-28），可得

这就是最小势能原理，它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应的总势能处于极小值。

从数学公式可见，平衡状态的位移对应于总势能为极小值，可表示为如图5-9a所示：δEp=0，表示在实际位移u处，Ep曲线的切线为水平线；δEp≥0，表示在实际位移u处，Ep曲线是上凹曲线，因此，δEp=min。从物理意义上看，平衡状态的位移对应于总势能处于极小的位置，可表示为如图5-9b所示。

（5）位移变分方程的又一形式

我们还可以对位移变分方程（5-24）作进一步的推导，而得出另一种形式的变分方程。式（5-24）中的δU可以写为

其中由于微分和变分都为微量，因此两者可以交换计算次序，如

然后对式（g）中的各项应用下列两个变分法中常用的公式进行计算。即

a.分部积分公式

b.格林公式

其中s为平面域A的边界，l、m为边界的外法线方向余弦。

例如，对式(g)的第一项进行运算：

式(j)的右边第一项中，s=su+sσ，分别为受约束作用的边界和受面力作用的边界。由于虚位移是预先满足约束（位移）边界条件的，在su上，δu=δv=0。因此，只存在部分。

对式（g）的第二、三项进行同样的运算，然后都代入式（5-24）。经过整理后，得到又一形式的位移变分方程：

由于δu，δv都是任意的独立的变分，为了满足上式变分方程，必须

从上两式可见，由变分方程（5-30）可以导出弹性力学的平衡微分方程（5-31）和应力边界条件（5-32）。或者说，变分方程（5-30）等价于弹性力学的两个静力平衡条件——平衡微分方程（2-2）和应力边界（2-15）。我们也可以认为，变分方程（5-30），是两上静力条件的能量形式的反映。即在实际平衡状态，在域A和sσ上的静力平衡条件都是满足的，因此，式（5-31）和（5-32）必然成立。反之，如果式（5-30）中的各括号项不等于零，可以把各括号项看成是一种不平衡力。变分方程（5-30）不是直接令不平衡力趋于零，而是令不平衡力所做的虚功趋于零。这样，同样也可以去找出实际平衡状态的位移解答。

因此，我们可以归纳如下：实际平衡状态的位移必须满足：a.su上的约束（位移）边界条件，b. sσ上的应力边界条件，c.域A中的平衡微分方程。位移变分方程可以等价地代替静力条件b和c。于是我们可以得出，若使位移函数预先满足su上的约束边界条件，再满足位移变分方程（5-24），必然也可以找出对应实际平衡状态的位移解答。

还应说明，上述（1）~（5）的各种变分方程，其实是同一方程的不同表示形式和相应作出的物理解释，其本质是完全相同的。

思考题

1．微分和变分各是由什么原因引起的？

2．试导出式（5-30）。

3．试比较（1）~（5）中变分方程的不同的物理解释。

4．试证明式（5-28），其中V用式（5-11）表示，以u,v为宗量；U用式（5-13），（5-14）表示，以εx，εy，γxy为宗量，分别求二阶变分加以证明。

§5-6 位移变分法

位移变分法是取位移为基本未知函数。位移函数应预先满足su上的约束（位移）边界条件，然后再令其满足位移变分方程（5-24）。

1．瑞利-里茨法

由于位移函数本身是未知的，无法进一步考虑它们应满足的条件。在变分法中采用先设定位移试函数的方法来进行求解。由此，我们设定位移的试函数如下：

其中u0，v0和um，vm均为设定的x,y的函数，并在边界上su上，令u0，v0分别等于给定的约束位移值，即

令um，vm分别等于零，即

这样u和v就已经满足了su上的约束边界条件。从上可见，在式（5-33）中通过u0，v0和um，vm的设定，来反映位移随x,y的变化，并预先满足了约束边界条件。

式（5-33）中的系数Am、Bm用来反映位移状态的变化，即反映位移的变分。当Am、Bm改变时，从图5-8可见，可以表示各种邻近状态的位移。

位移的变分可以由式（5-33）得出

现在来考虑位移变分方程（5-24）。由于位移的变分通过Am，Bm的变分来反映，因此，形变势能的变分是

将式（d）和式（c）代入位移变分方程（5-24），得

将上式按系数δAm、δBm进行归纳，得到

因为虚位移（位移变分）中的δAm、δBm是完全任意的和独立的，为了满足上式，它们的系数必须等于零，即

这就是瑞利-里茨变分方程。它是关于系数Am、Bm（m=1,2,…）的线性代数方程组，可以由上式解出系数Am、Bm，从而得到位移的解答。

2．伽辽金法

在伽辽金法中，仍然设立位移试函数如式（5-33）所示，但令u,v不仅满足su上的位移边界条件，而且也满足sσ上的应力边界条件（由位移求对应的应力，并使之满足应力边界条件）。亦即设立的位移预先满足了全部边界条件。于是，由式（5-30）可见，sσ上的平衡条件已经满足，sσ上的积分项消失。因此，设定的位移只须满足变分方程（5-30）中的第一部分，即

将式（c）代入上式，同样由于变分δAm、δBm是完全任意的和独立的，为了满足上式，它们的系数必须等于零，即

在上式中，可以将括号内的应力用位移表示，如式（2-18）所示，于是得到伽辽金变分方程，

上式也是关于Am、Bm的线性代数方程组，从上式解出Am、Bm，便得到位移的解答。

已经讲过，由位移求应力需进行一次求导运算。对于近似解而言，这会降低精度，为了保证应力的精度，在位移函数中应取更多的项数。

思考题

试从位移函数的设定，应满足的变分方程和求解的计算工作量等方面对瑞利-里茨法和伽辽金法进行比较。

答案：设定位移函数时，瑞利-里茨法只须满足位移边界条件，而伽辽金法须满足全部边界条件，后者相应地比较困难。瑞利-里茨法的运算工作量较大，而伽辽金法的运算工作量较少。由于伽辽金法中的位移预先满足了全部边界条件，因此其解答的精度一般较高。

§5-7 位移变分法的例题

例1，用瑞利-里茨法求解图5-10所示的问题。其中设定的位移函数只需满足约束边界条件，即

其余的应力边界条件和平衡微分方程都由位移变分方程来代替。

当只取A1，B1两个系数时，瑞利-里茨法变分方程是

对上式右边的积分，应包含所有的应力边界条件，其中的u1，v1中应代入相应的边界方程。

这个问题的位移状态是非常简单的。而采用的位移表达式正好是该问题的解答。这在变分法中是很少遇到的，只有在所取的试函数正好与精确解答一致时才会出现。

例2，图5-11，

该问题中所有的边界条件全部是位移边界条件，即s=su，sσ=0。当设定位移函数表达式如教科书§5-7中式（j），（k）时，全部位移边界条件均已满足。此外，对于有对称性的问题，应首先考虑其对称性条件，使问题预先得到简化。在本题中，y轴是对称轴，因此，v应为x的偶函数，而u应为x的奇函数（当x＞0时，若u为正，则指向+x方向。由于对称性，当x＜0时，u应指向负x方向，为负值）。这个对称性条件也已反映在位移表达式（j），（k）中。